Mathematik - Aufgaben

Ich will natürlich nicht alle Knobeleien, die mir zu Ohren kommen, hier veröffentlichen, aber ich bin gerne bereit, weitere Links aufzunehmen. Recht nette mathematische Knobeleien gibt es beispielsweise auch bei mathematik-online.de.

Eine leichte Vorübung für die nächste Aufgabe. Man hat eine Balkenwaage und 9 Kugeln. Man weiß nur, dass eine anders ist als alle anderen (leichter oder schwerer). Man weiß nicht, ob sie leichter ist oder ob sie schwerer ist. Mit 3 Wägungen soll man herausfinden, welche Kugel anders ist und ob sie schwerer oder leichter als die anderen ist.

Abwandlung: Falls schon bekannt ist, ob die Kugel nun schwerer oder leichter ist, dann kommt man schon mit 2 Wägungen aus.

Die Aufgabenstellung ist identisch mit der letzten Aufgabe, allerdings hat man statt 9 Kugeln 12 Kugeln.

Zusatz: Wenn nun jemand denkt, dass es mit weniger Kugeln einfacher wird, der kann sich überlegen, dass man bei 4 Kugeln auch drei Wägungen benötigt.

Die Aufgabenstellung ist eine Verallgemeinerung der letzten Aufgabe. Man zeige für alle natürlichen Zahlen n aus IN, dass man für 4*3ⁿ Kugeln mit 1+2*n Wägungen auskommt. Für n=1 entspricht das der letzten Aufgabe, für n=0 ist diese Behauptung falsch, wie der Zusatz oben zeigt.

Wer von Waagen noch immer nicht genug hat, der gebe der Kundin des Kaufmannes in der folgenden Geschichte einen Rat, ob sie sich auf den Vorschlag des Verkäufers einlassen soll oder nicht.

Ein Kaufmann stellt fest, dass seine neue Balkenwaage ungleich lange Arme hat. Mit einer Kundin, die 2 Kilo Zucker haben möchte, einigt er sich auf folgende Methode: Ich lege ein Einkilogewicht auf die linke Waagschale und wiege damit den Zucker auf der rechten aus. Dann lege ich umgekehrt das Gewicht auf die rechte Schale und wiege den Zucker auf der linken aus. Wenn in der einen Tüte etwas weniger als 1kg Zucker ist, dann ist in der anderen entsprechend mehr.

mathematik_latte_kiste.gif rr-padding-05

Diese Aufgabe sollte mit dem Wissen der 10. Klasse Realschule lösbar sein, wenn man die richtigen Ansätze und eine zündende Idee hat. Eine Würfel mit Seitenlänge h=1m steht in der Ecke. über diese Kiste wird eine Latte der Länge l=5m so gelegt, dass sie die Wand, die Kiste und den Boden wie in der Skizze berührt. Frage: In welchem Abstand x und welcher Höhe y von der Ecke berührt die Kiste Boden und Wand?

Diese Aufgabe sollte ebenfalls mit dem Wissen der 10. Klasse Realschule lösbar sein, wenn man eine Formelsammlung zur Hilfe nimmt. Gegeben ist eine Kugel mit Radius r, durch deren Mittelpunkt ein Loch derart gebohrt wird, dass der verbleibende Ring (siehe Skizze) die Höhe h hat. Man berechne das Volumen des Rings und zeige, dass es nur von der Höhe h abhängt und dem Volumen einer Kugel mit Durchmesser h entspricht, aber nicht vom Radius r der Kugel.

Für diese Aufgabe ist der Pythagoras ausreichend. Sie zeigt, dass wie im Leben so oft, der direkte Weg nicht auch der kürzeste ist. Auf einem Quader (siehe Skizze) mit den Maßen 1x1x10m sitzen auf den Stirnseiten eine Spinne S (auf der senkrechten Mittellinie in einer Höhe von 75cm) und eine Fliege F (auf der senkrechten Mittellinie in einer Höhe von 25cm). Man berechne die Länge des kürzesten Weges von Spinne S zur Fliege F und zeige, dass dieser nicht über 3 oder etwa 4, sondern sogar 5 Flächen führt.

Rechnen mit komplexen Zahlen (1). Was ist falsch an folgender Gleichung?

1=1

Rechnen mit komplexen Zahlen (2). Bekannt ist, zu jedem x aus IR⁺ gibt es ein y aus IR mit x = e^y. Was ist falsch an folgender Gleichung:

x = e^y = e^{2iπ*(y/2iπ)} = (e^2iπ)^(y/2iπ) = (1)^(y/2iπ)= 1

Folgerung, alle positiven reellen Zahlen sind 1. Mit der letzten Aufgabe (1=-1) folgt sogar, dass für alle rellen Zahlen x (x<>0) gilt x=1.

Dass man die Gleichung 1+1=2 nicht immer so einfach darstellen muss, zeigen die Betrachtungen von Dr. Dr. Prof. Huan Chuau der mal einige Semester an der Universität Essen Lineare Algebra gegeben hat. Die etwas längere Darstellung haben wie der besseren Lesbarkeit wegen ausgelagert. Die Darstellung wurde vom CubeChat Mitglied Voce ck1@funny-place.de beigesteuert.

Von der folgenden Art an Aufgaben gibt es Legion, hier eins der Beispiele (erhalten von A.J.Franke@t-online.de). Auf dem Markt werden die folgenden Tiere verkauft: Hunde (15 Euro), Katzen (1 Euro) und Mäuse (0,25 Euro). Es sollen für Tiere genau 100 Euro ausgegeben werden, so dass mindestens zwei unterschiedliche Arten und genau 100 Tiere gekauft werden.